Конус. Плошча поўнай і бакавой паверхней конуса. Аб'ём конуса

Конусы

      Рассмотрим произвольную плоскость α, точку   S,   не лежащую на плоскости α,   и перпендикуляр   SO,   опущенный из точки   S   на плоскость   α   (точка   O   – основание перпендикуляра). Рассмотрим также произвольный круг с центром в точке   O,   лежащий на плоскости   α.

      Определение 1. Конусом называют фигуру, состоящую из всех отрезков, соединяющих точку   S   с точками указанного круга с центром в точке   O,   лежащего на плоскости   α   (рис. 1).

Рис.1

      Определение 2.

	Точку   S   называют вершиной конуса.
	Отрезок   SO   называют осью конуса.
	Расстояние от точки   S   до плоскости   α   (длину отрезка   SO)   называют высотой конуса.
	Круг с центром в точке   O,   лежащий на плоскости   α,   называют основанием конуса, радиус этого круга называют радиусом основания конуса, а саму плоскость   α   называют плоскостью основания конуса.
	Отрезки, соединяющие точку   S   с точками окружности называют образующими конуса.
	Совокупность всех образующих конуса составляет боковую поверхность конуса (коническую поверхность).
	Полная поверхность конуса состоит из основания конуса и его боковой поверхности.

      Замечание 1. Отрезок   SO   часто называют высотой конуса.

      Замечание 2. Все образующие конуса имеют одинаковую длину. У конуса с высотой   h   и радиусом основания   r   длина образующих равна

Усеченные конусы

      Рассмотрим конус с вершиной   S,   осью   SO,   радиусом основания   r   и высотой   h.   Плоскость   β,   параллельная плоскости основания конуса и расположенная на расстоянии   h₁   от вершины   S,   пересекает конус по кругу радиуса   r₁   с центром в точке   O₁   (рис. 2).

Рис.2

      Из подобия прямоугольных треугольников   SOA   и   SO₁A₁   можно выразить радиус   r₁   через известные величины   r, h   и   h₁:

      Таким образом, плоскость   β   делит конус на две части: конус с осью   SO₁   и радиусом основания   r₁,   а также вторую часть, называемую усеченным конусом (рис. 3).

Рис.3

      Усеченный конус ограничен двумя основаниями: кругом с центром в точке   O   радиуса   r   на плоскости   α   и кругом с центром в точке   O₁ радиуса   r₁   на плоскости   β,   а также боковой поверхностью усеченного конуса, которая представляет собой часть боковой поверхности исходного конуса, заключенную между плоскостями   α   и   β.   Полная поверхность усеченного конуса состоит из двух оснований усеченного конуса и его боковой поверхности. Часть каждой образующей исходного конуса, которая заключена между плоскостями   α   и   β,   называют образующей усеченного конуса. Например, на рисунке 3 одной из образующих усеченного конуса является отрезок   AA₁.

      Высотой усеченного конуса называют расстояние между плоскостями оснований усеченного конуса. У усеченного конуса, изображенного на рисунке 2, высота равна   h – h₁.

Объем, площади боковой и полной поверхностей конуса и усеченного конуса

      Введем следующие обозначения

V	объем конуса (объем усеченного конуса)
Sбок	площадь боковой поверхности конуса (площадь боковой поверхности усеченного конуса)
Sполн	площадь полной поверхности конуса (площадь полной поверхности усеченного конуса)
Sосн	площадь основания конуса
Sверх.осн	площадь верхнего основания усеченного конуса
Sнижн.осн	площадь нижнего основания усеченного конуса

      Тогда справедливы следующие формулы для вычисления объема, площади боковой и полной поверхности конуса, а также формулы для вычисления объема, площади боковой и полной поверхности усеченного конуса.

Фигура	Рисунок	Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности
Конус		Sосн = πr2, Sбок= πrl, Sполн = πr2 + πrl, где r – радиус основания конуса, l  – длина образующей конуса, h – высота конуса.
Усеченный конус		Sбок= π (r + r1)l , где h – высота усеченного конуса, r – радиус нижнего основания усеченного конуса, r1 – радиус верхнего основания усеченного конуса, l – длина образующей усеченного конуса.

      Замечание 3. Формула для вычисления объема конуса

может быть получена из формулы объема правильной n – угольной пирамиды

при помощи предельного перехода, когда число сторон правильной пирамиды n неограниченно возрастает. Однако доказательство этого факта выходит за рамки школьной программы.

      Замечание 4. Формула для вычисления объема усеченного конуса