Решение неравенств методом интервалов

Что такое метод интервалов???

 Метод интервалов — это специальный алгоритм, предназначенный для решения сложных неравенств вида f (x) > 0 и f (x) < 0. Алгоритм состоит из 5 шагов:

1.  Решить уравнение f (x) = 0 (Найти нули функции); 

2.  Отметить все полученные корни на координатной прямой. Таким образом, прямая разделится на несколько интервалов;

3.  Определить знаки значений функции на каждом из полученных интервалов;

4.  Выбрать  интервалы, на которых значение функции имеет знак, который соответствует знаку неравенства; 

5.  Записать ответ.

Пример1.

Решить неравенство: (x − 2)(x + 7) < 0
Решение.
1. Решаем уравнение (находим нули функции)  (x − 2)(x + 7) = 0;
2.  Отмечаем эти корни на координатной прямой. Имеем:


3. Определяем знаки функции на каждом интервале;

4.Выбираем интервалы, на которых функция имеет знак (-);

5. Записываем ответ: (-7; 2).

Пример2.

Решите неравенство -4/(-x+5)(x²-4)>0

 Решение.

 Так как числитель  дробного  выражения отрицателен, то  решение  исходного  неравенства  сводится к решению неравенства  (-x+5)(x²-4) <0.
 Решим неравенство методом интервалов.
 1. Рассмотрим  функцию f(x)= (-x+5)(x²-4) и найдём нули функции, т.е. решим уравнение                  (-x+5)(x²-4) =0, (-x+5)(x-2)(x+2)=0. Числа 5; 2; -2 являются нулями функции.                                    
 2. Отметим нули  функции на координатной прямой;

3.  В каждом из промежутков, на которые область определения функции разбивается нулями функции, знак функции сохраняется, а при переходе через      нули функции, т.е. через точки        -2; 2; 5,  её знак меняется. Определим знаки значений функции на каждом из полученных интервалов.

4. Выбираем интервалы, на которых значение функции имеет знак (-). Тогда множеством всех решений неравенства будет объединение всех промежутков, в которых стоит знак (-).

! Промежутки числовой прямой, на которых функция имеет знак (+), либо знак (-), называются промежутками знакопостоянства  функции.

5. Записываем ответ. Решением неравенства(-x+5)(x²-4) <0  методом интервалов  будет объединение интервалов:  (-2; 2)U(5;  ∞).

Решаем и играем вместе

Реши сам

и проверь себя (зайдя по данной ссылке). Результаты данного теста автоматически "попадают" мне на проверку.